相對論BirkhOff系統動(dòng)力學(xué)研究

第50卷第12期2001件12月物理學(xué)報Vol 50, No, 12, December, 200110003290/2001/50(12)1289-0ACTA PHYSICA SINICA@2001 Chin. Phys. S相對論 Birkhof'系統動(dòng)力學(xué)研究傅景禮》)陳立群》)羅紹凱2)陳向煒2)王新民1)(上海大學(xué)上海市應用數學(xué)與力學(xué)研究所,上海20072)(商丘師范學(xué)院數學(xué)力學(xué)與數學(xué)物理研究所,商丘4760002000年11月23日收到;200年S月19日收到修改稿給出相對論系統的Birh函數和Bikh函數組、Pa作用量、 Pfaff- Birkh原理、 Birkhof方程;研究相對論動(dòng)力學(xué)系統的Bdho表示方法;根據在無(wú)限小變換下相對論P作用量的不變性和相對論Bikh方程的不變性得到相對論 Birkho系統的 Noether對稱(chēng)性理論和lie對稱(chēng)性理論;研究相對論 Birkhof系統的代數結構和 Poisson分方法關(guān)鍵詞:相對論, Birkhof系統, Noether對稱(chēng)性,Iie對稱(chēng)性,代數結構, Poisson積分PACC:0316,04122相對論 Pfaff-Birkhe原理與相對論Bkho方程Biho動(dòng)力學(xué)的研究始于1927年美國數學(xué)家Biho的工作.1978年美國物理學(xué)家Snli考慮定義相對論性Pa作用量時(shí)間t將該方程修改后命名為Bkho方程2,并將該方程引入力學(xué)領(lǐng)域研究了完整約束系統的動(dòng)力A={R:(m(,a),t,a)d-B'(m,(t,a)學(xué)問(wèn)題,從此 Birkhof方程在數學(xué)力學(xué)研究領(lǐng)域受到重視.1992年我國數學(xué)力學(xué)家梅風(fēng)翔利用 Birtht,a)ldt (v=I(1)方程研究了非完整系統的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題“,并給出了本文采用 Einstein求和約定式中a=a(a1,…,Birkhoff系統的 Noether 3理論”, Poisson理論及運),m為;質(zhì)點(diǎn)的相對論性質(zhì)量動(dòng)穩定性理論,構筑了Bdh系統動(dòng)力學(xué)的理論框架°. Birkhof系統動(dòng)力學(xué)比 hamilton力學(xué)更為mo/√1-r/i=1,…,N),(2)般1, Hamilton力學(xué)理論猶如一顆參天大樹(shù),已經(jīng)mo為i質(zhì)點(diǎn)的經(jīng)典質(zhì)量,r=i,(t,a)為i質(zhì)點(diǎn)的根深葉茂,成為當今非線(xiàn)性科代物理領(lǐng)域中一速度,c為光速個(gè)最富成果而又生機勃勃的研究方向H.相信類(lèi)同于文獻[20],不難證明在相對論力學(xué)中dBih系統動(dòng)力學(xué)理論在非線(xiàn)性科學(xué)、近代物理領(lǐng)與6滿(mǎn)足交換關(guān)系,則等時(shí)變分原理域中也理應扮演重要角色近10余年來(lái)相對論分析aRaR am aR aRam力學(xué)的研究取得了豐碩成果"m.本文將BMm6A·={(ag+am,odaa動(dòng)力學(xué)的研究從經(jīng)典力學(xué)擴展到高速運動(dòng)的相對論力學(xué),建立了相對論力學(xué)與 Birkhof動(dòng)力學(xué)的交叉理aBaBam, ar. ar:ada" at am a論,為 Birkhof動(dòng)力學(xué)進(jìn)入近代物理研究領(lǐng)域奠定基礎da dt= 0y,=1,…,2n;i=1,…,N),(3)帶有交換關(guān)系國家自然科學(xué)基金(批準號:19972010)和河南省自然科學(xué)基金(批準號:984053中國煤化工CNMHG2290物理學(xué)報daa= 8da(4)及端點(diǎn)條件B'(a)=6a(5)如果僅R不顯含時(shí)間t,則相對論 Birkhoff方程稱(chēng)為相對論hf,Biho原理式中B為相對論(9)為半自治的有形式Birkhof函數,R;為相對論 Birkhoff函數組令:(a)a-9B”(a)=0B’=B'(t,a)=B'(m(t,a),t,a)R=R:(t,a)=R:(m;(t,a),t,a),3相對論動(dòng)力學(xué)系統的Bkh表示則有3.1相對論完整力學(xué)系統的 Birkho表示e-2aBam研究N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構成的力學(xué)系統,第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到主動(dòng)力F;,如果系統只受有理想完整約束或不受aa" aa" am aa(7)約束,我們引入相對論性的廣義動(dòng)能函數3T=mac2(1-√1-P2).(15引入凝固偏導數和凝固導數記號,令Ⅱ那么,原理(3)式可表為/q,分別表示把質(zhì)量當作常量時(shí)對q,q,的偏導數,D/Dt表示把質(zhì)量當作常量時(shí)對時(shí)間t的導數8A·=可得到相對論完整約束系統凝固導數形式的運動(dòng)方程aB8a"dt=0.(8)2Q,+2Ws(s=1,…,N)由積分區間[t,t2]的任意性,8a的獨立性,得到Q系統的相對論 Birkhof方程(16)式可表為顯式∩aBq,=g,()(s,k=1令(9)方程(17)可表為標準一階形式稱(chēng)為相對論Brkh張量.(9)式表示成逆變形i'=o,o'=a,o"'=g, (gs, 9, 4).式要使方程有相對論 Birkhof形式(9),即B·Rb. aR式中則有(21)(11)為相對論 Birkhof逆變張量.一般假設對于給定的B,無(wú)論R’是否顯含時(shí)間t,方程(21e(n)≠0(12)總可表為 Cauchy-KoBarmeBcKas型的21.根據 cauchyKoBareBcKas定理,方程(21)的解總是存在的因此若R,B·都不顯含時(shí)間t,則相對論 Birkhoff方程TH中國煤化工示(9)為自治的有如下形式:CNMH統可表為正則形12期傅景禮等:相對論 Birth系統動(dòng)力學(xué)研究2291式0a"a、分取B’為相對論 Hamilton函數,則(22)式自然有+FE-B廣-:(R;F.-B”}=0.(2)BihM表示,即相對論完整動(dòng)力學(xué)系統都可納人引入規范函數P=P(t,a),在(29)式中相加并相減Bih系統eP,得到32相對論非完整動(dòng)力學(xué)系統的Brkh表示(RF.-B+P)+戶(hù)假定系統除受有完整約束外,還受有非完整約束f(q,9,t)=0(B=1,…,g),(23)aB則系統的運動(dòng)可表為凝固導數形式的 Routh方程+RF-B‘升=0(30)DⅡT°Q,+2Ys(24)由不變性條件(30)式立即得到,對于相對論Bidh在運動(dòng)方程積分之前,可由方程(23)和(24)求系統(9)式如果無(wú)限小變換生成元F,/和規范函出乘子作為q,,t的顯函數2,記作數P滿(mǎn)足如下關(guān)系:ag ag(q,,9,,t),r. aB則方程(24)可表為顯式P(26)R2F-B'f=0,(31)方程(26)為非完整系統(23)和(24)式相應完整系統的運動(dòng)方程.如果初始條件滿(mǎn)足約束方程(23),即那么系統存在如下守恒量:f(q,q,)=0,那么方程(26給出所論非完整R,. f+P=const系統的運動(dòng)因此,相對論非完整系統的 Birkhoff化于是有問(wèn)題,轉化為相應完整系統(26)式的 Birkhof化問(wèn)定理1對于相對論 Birkhof系純(9)式,如果題那么,一切相對論非完整系統的運動(dòng)方程都有無(wú)限小變換(27)式的生成元F,∫和規范函教P滿(mǎn)Birkhof表示足條件(31)式,則系統存在形如(32)式的守恒量可見(jiàn),對于給定的B,R,可由(31)式找到無(wú)4相對論 Birkhof系統的積分理論限小變換生成元F。,/和規范函數P,然后由(32)式找到系統的守恒量4.1相對論 Birkhoff系統的 Noether理論對于逆問(wèn)題,我們假設相對論 Birkhof系統有r個(gè)彼此獨立的第一積分相對論 Birkhot系統的 Noether理論分為正問(wèn)題和逆問(wèn)題對于正問(wèn)題,我們引入無(wú)限小變換I=I(t, a)=/(m;, (t, a),t, a)=consta'= a"+EF(t, a),(33試由該積分找到相應 Noether對稱(chēng)性式中e為小參數,和F為無(wú)限小變換生成元,將將(33)式對時(shí)間t求導數得到(27)式代入原理(8)式并注意到積分區間[t1,l2]的(34)dt任意性,得到再將(9)式等號兩端乘以F=F-a了并對n求和aR:aR)(aB·R再將結果與(34)式相加,得到a°x(Fr-af)=0中國煤化此式可表為CNMHG2292物理學(xué)報50卷B·aR生成元∫,F,如果存在滿(mǎn)足(F-a"(R"a'-B)+(Ra"-B)由(35)式中a'的系數為零,得到(42)//aR, a的規范函數P,那么相對論 Birkhof系統存在如下守aa恒量’=RF-B'f+P對于逆問(wèn)題,我們有若相對論Biho方程非退化定理4如果已知相對論 Birkhof系統(9)式的rdet(∴)=deaRaa/×0,個(gè)獨立的第一積分,可求得該系統 Noether對稱(chēng)性變換的生成元∫,F若∫,F。滿(mǎn)足確定方程(41),那故可由(35)式解得到么,該系統是與第一積分對應的Iie對稱(chēng)性變換,否F=n(37)則不是Le對稱(chēng)性變換at令積分(33)式等于守恒量(32)式即4.3積分相對論 Birkhof方程的場(chǎng)方法I'(m (t, a), 4, a)=R F-B'f+ P關(guān)于此問(wèn)題的研究見(jiàn)文獻[26」那么有定理2如果已知相對論Bh系(9)式的5相對論 Birkhoff系統的代數結構與第一積分,且選定具體的規范函數P后,由(37)Poisson積分方法(38)式可確定該系統的無(wú)限小變換生成元∫F,它們對應于相對論Bth系統(9)式的 Noether對稱(chēng)5.1相對論 Birkhof方程的代數結構性變換對于自治形式或半自治形式的相對論Bh方4.2相對論 Birkhof系統的Iie對稱(chēng)性理論程(13)和(14),將余切叢TM上的某函數A'(a)按相對論Bdh系統的Lic對稱(chēng)性理論見(jiàn)文獻(3)或(14)式求對時(shí)間t的導數定義為一個(gè)積[25],本文給出一些結論在(27)式的無(wú)限小變換下,引入無(wú)限小變換的A(a)=ndeAB·.(44)生成元向量類(lèi)似于文獻[27]的證明,它滿(mǎn)足右分配律、左分配(39)律、標律,還滿(mǎn)足反對稱(chēng)性和 Jacobi恒等式,那么,我以及它的一次擴展們得到定理5自治形式和半自治形式的相對論Birkx=x+(F。-dhf方程(13)和(14),具有相容代數結構和le代數由相對論Bho方程(9)在無(wú)限小變換下的不變結構性,可得到相對論 Birkhol系統的確定方程對于非自治形式的相對論Brkh方程(10),將F.-+8余切叢T'M上的某函數A(a)按(10)式求對時(shí)間t的導數定義為一個(gè)積=X°[ba:(9,9A'(a)=a-(°B+koa+a/df’g如果無(wú)限小變換(27)式的生成元f,F滿(mǎn)足確(45)定方程(41),就稱(chēng)變換(27)式是Le對稱(chēng)的那么有類(lèi)似于立獻21的證明它不滿(mǎn)足右分配律、標律定理3對于滿(mǎn)足確定方程(41)的無(wú)限小變換那么我中國煤化工CNMHG傅景禮等:相對論Brkh系統動(dòng)力學(xué)研究2293定理6非自治形式的相對論 Birkhof方程對論Bikh系統關(guān)于第一積分的廣義 Poisson(10)沒(méi)有相容代數結構{21條件研究一種特殊非自治形式的相對論 Birkhof系定理9自治形式的相對論 Burke系統的統如果方程(10)中的相對論Bho函數B‘和相Bdh函數是系統的第一積分定理10如果自治形式和半自治形式的相對對論Biho函數組R還滿(mǎn)足關(guān)系論 Birkhof方程(13)和(14)有不處于相互內旋的兩BaR(46)個(gè)第一積分H(,a)=C,l(t,a)=C2,則它們式中的廣義 Poisson括號[,也是系統的第一積分定理11如果自治形式和半自治形式的相對論Bh方程(13)和(14)有包含時(shí)間t的第一積(T")0T”0(47)分(t,a)=C,那么8:x,都是系統的第為相對論性對稱(chēng)張量,可由(46)式確定那么非自治一積分形式的相對論Bh方程(10)表為如下形式定理12如果自治形式和半自治形式的相對S灬BBirkhoff方程有包含a的第一積分,而日和da" =0(48)B都不含a",則…都是系統的第一我們將余切叢TM上的某函數A(a)按(48)積分式求對時(shí)間t的導數定義為一個(gè)積對于特殊非自治形式的相對論Bho方程B(48),在積定義(49)和(50)式下具有Lie容許代數結A'(a)=s da defa·B.(49)構,而不具有Le代數結構,那么關(guān)于積分完整保守類(lèi)似于文獻[27]的證明,該積滿(mǎn)足右分配律、左分配系統的 Poisson理論只能部分應用于這類(lèi)系統律和標律是有由積(49)式再定義一個(gè)新積定理13I‘(t,a)=I(m,(t,a),t,a)=CA·B’seA'B-B`A.(50)是特殊非自治形式的相對論 Birkhoff系統(48)式第不難證明它滿(mǎn)足Le代數公理那么有積分的充要條件為定理7特殊非自治形式的相對論 Birkhot方程(48)在積定義(49),(50)式下具有相容代數結構和Le容許代數結構(52)式稱(chēng)為特殊非自治形式的相對論 Birkhof系統52相對論 Birkho系統的 Polsson積分(48)式關(guān)于第一積分的廣義 Poisson條件定理14B'(t,a)=B'(m1(t,a),t,a)=C自治形式和半自治形式的相對論Bho方程13)和(14)具有Le代數結構,因此,關(guān)于積分完整是特殊非自治形式的相對論 Birkhoff系統(48)式第保守系統的 Poisson理論可全部應用于這類(lèi)系統.于積分的克要條件為是有B(53)定理87'(t,a)=I'(m,(t,a),t,a)=C是定理15如杲特殊非自治形式的相對論Birk系統(13),(14)式第一積分的充要條件為ho系統(48)式有包含d的第一積分,而S"和al+[I',B'1=0,[r,B]=BB·都不顯含n,那云8·2,…都是系統的第(51(證明略)(51)式稱(chēng)為自治形式和半自治形式的相一積中國煤化工CNMHG物理學(xué)報50卷函數組R6討論B=B((t,a),t,a),R:=R:(l,(1.隨著(zhù)科學(xué)的發(fā)展,人們的研究表明,力學(xué)系可以得到轉動(dòng)相對論Bhof系統的動(dòng)力學(xué)理統的位形空間并不一定是歐氏空間,而必是微分流論形 Poincare提出用微分流形取代歐氏空間作為力學(xué)3.本文的研究具有一般性.在r