熱方程的非古典勢對稱(chēng)群與不變解

應用數學(xué)和力學(xué)第27卷第2期2006年2月)應用數學(xué)和力學(xué)編委會(huì )編Applied Mathematics and Mechanics重慶出版社出版文章編號:0002101熱方程的非古典勢對稱(chēng)群與不變解秦茂昌2,梅鳳翔,許學(xué)軍(1重慶工商大學(xué)理學(xué)院,重慶4000672.北京理工大學(xué)理學(xué)院北京100081)(胡更開(kāi)推薦)摘要:主要研究了熱方程與波方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元及相應的群不變解研究表明對于守恒形式的偏微分方程可通過(guò)其伴隨系統求得的非古典勢對稱(chēng)群生成元來(lái)構造其顯式解這些顯式解不能由方程本身的Lie對稱(chēng)群生成元或Lie- Backlund對稱(chēng)群生成元構造得到關(guān)鍵詞:非古典勢對稱(chēng)群生成元;熱方程;波方程;顯式解中圖分類(lèi)號:O152.50175.2文獻標識碼:A引言在微分方程(特別是對偏微分方程而言舶約化及顯式解的構造的各種方法中對稱(chēng)群方法是一種非常重要且應用廣泛的方法文獻1~4論述的經(jīng)典Lie對稱(chēng)群方法,可用來(lái)構造偏微分方程的顯式解并對方程本身進(jìn)行約化偏微分方程旳經(jīng)典對稱(chēng)群通常是指定義在自變量及函數空間上將方程的解變?yōu)槠渌獾臒o(wú)限小連續變換同時(shí)將利用對稱(chēng)群方法構造得到的解稱(chēng)為方程的群不變解Bluman和Cole在文獻56中用一種新方法,得到了守恒型偏微分方程的一種新的非局部對稱(chēng)這種對稱(chēng)既不是給定方程的Iie點(diǎn)對稱(chēng)也不是其Lie- Backlund對稱(chēng)這種對稱(chēng)被稱(chēng)為偏微分方程的勢對稱(chēng)(古典勢對稱(chēng)〕一般而言由于偏微分方程的勢對稱(chēng)確定方程比它的Lie對稱(chēng)群確定方程要少所以要找出其所有的對稱(chēng)是非常困難的但同時(shí)也產(chǎn)生了找到新的對稱(chēng)及群不變解的可能性正因為如此這種對稱(chēng)引起了廣大研究者的興趣最近,古典勢對稱(chēng)被進(jìn)一步發(fā)展推廣到了非古典勢對稱(chēng)文獻7]得到了波方程的幾個(gè)非古典勢對稱(chēng)群生成元及其群不變解文獻8琍用 Burgers方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元構造得到了新的顯式解關(guān)于守恒型偏微分方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元的尋找及其相應群不變解的構造還有大量的工作要做在本文的第1節我們將給出一種求偏微分方程非古典勢對稱(chēng)群生成元的方法第2節則以熱方程及波方程為例說(shuō)明方程非古典勢對稱(chēng)群生成元的求法及其群不變解的構造收稿日期:2004-03-19;修訂日期:2005-10-30基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(10272021)作者簡(jiǎn)介:秦茂昌(1971-)男云南永勝人博士聯(lián)系人Tel:+86-23-60994796218秦茂昌梅鳳翔許學(xué)軍1尋找對稱(chēng)的方法考察階數m≥2的如下守恒形式的偏微分方程D(f(y,a,u(1)(2)(1)式中自變量y=(x1x2…xn),為函數,j=12灬…m-1)表示第j次偏導數的全體例如{u12…,uan},a(2)={u1,u12…,am}灬…(具體以x1=t和x2=x為自變量來(lái)說(shuō),(1)={u1,},2)={un,a,ux},(3)={umn, uur ltrr illr})同時(shí)定義算子D+…,+ui”m:1bu12“a-1(i=12…mn)因為方程組(1是守恒形式所以存在n(n-1)2個(gè)函數y構成一個(gè)反對稱(chēng)張量j),使得f'(x(-1yn,y+x-1)1,y(i=12mm(2)當j≠i+1則令函數y"=0引入函數n=y+(i=12灬,n-1),可將方程(1)的伴隨系統(2)變?yōu)槿缦滦问降钠⒎址匠探Mdx2f=(-1特別地若n=2令x1=t,x2=x,f1=f和戶(hù)2=-g,則將方程組1)寫(xiě)成af dg=0(4)選取函數y12=n=n,于是伴隨系統(2)變?yōu)?5)假設方程組5具有如下形式的Lie對稱(chēng)群生成元v=tx,)+t x ,u)+g)n+不式中的對稱(chēng)群生成元系數函數τ、、φ和η通過(guò)求解下面的對稱(chēng)群確定方程組得到3-/=0只要對稱(chēng)群生成元系數函數r、、中的任何一個(gè)顯含系數函數n不作此要求)則得到的對稱(chēng)群生成元給出方程組5肭的一個(gè)古典勢對稱(chēng)群生成元為了尋找方程組5)的非古典勢對稱(chēng)群生成元還要附加下列邊條件熱方程的非古典勢對稱(chēng)群與不變解即,首先利用式5廂和8)求出偏導數u1、u1、n、n,再將它們代入對稱(chēng)群確定方程組(7)求出系數函數τ、、中和2應用在此節中將以用標準Lie對稱(chēng)群方法分析過(guò)的熱方程及波方程為例對非古典勢對稱(chēng)群生成元的求法及相應群不變解的構造進(jìn)行具體討論說(shuō)明首先考察熱方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元(9)將其寫(xiě)成守恒形式D(u)-D(u2)=0(10)相應的一階微分方程組為附加邊條件為zu2+5ux=ψ(12)TU, sUx tux su n由條件(12)可以得到n,=1n,=25(7-方程組11)的對稱(chēng)群確定方程組為)(rw,+5u,=盧,,+,=n)(14)m-11)(m+知=季m+=)=0將其展開(kāi)得)+d(n-)中-u1(中-x-m+;)(15)中+東)+u(n+xx)+u1xn-u2rn,=0將式(13)代入方程組15)則有Tsn-.-2(-.-n+x)+5(x,+n)-x,+m)-2,+(16)5(4一一7+)-,一5+5(+)+2=+x)=0至此我們只需要從方程組15)16)中解出所有可能的系數函數就得到所有的對稱(chēng)要得到方程組(15)16舶的一般解是非常困難的我們僅僅考察一些特解當系數函數x≠0且η=噲則顯然有φ=0,它們構成方程組16)的一組特解由這組特解得到非古典勢對稱(chēng)群生成元為秦茂昌梅鳳翔式中系數函數x≠0顯含變量n雖然式(17)給出方程組11)的無(wú)窮多的非古典勢對稱(chēng)群生成元但是容易證明由這些對稱(chēng)群生成元得到的不變解僅為常數.因而要得到對熱方程有意義的非古典勢對稱(chēng)群生成元系數函數和n必須滿(mǎn)足關(guān)系式?≠n這里應該指出的是系數函數τ≠0是從方程組(12)得到關(guān)系(13)的必要條件.接下來(lái)首先考察系數函數x=0的情況若τ=0從方程組(12)得到u1=中/,;=n/=l,將它們代入方程組15)則有2n+鐘+樂(lè )n-)-n2,=日2中,(n-)-5(-,-n)+水卓+東))+(18)0(m)-nD))。=0解方程組(18)可以得到如下一組特解5=-2at+b,s= av +(ax +c)u+ ax,n=(ax +c)+a(x,)其中a、b和ε為任意常數函數a(x,)需要滿(mǎn)足熱方程由該組解得到的非古典勢對稱(chēng)群生成元為V2=(2a+b)a+(m+(ax+c)+a,)n+(am+c)+a)(19)不過(guò)容易驗證從(19)中并沒(méi)有得到熱方程的任何新的對稱(chēng)令系數函數=-1(n+d),=d,e是非零常數)則由方程組18)的第1個(gè)方程求得系數函數φ=-c2,它們構成方程組18的一組特解其對應的非古典勢對稱(chēng)群生成元為由非古典勢對稱(chēng)群生成形(20)可構造得到熱方程的如下顯式解(21)當然觚21)也可以利用非經(jīng)典方法由熱方程的經(jīng)典Lie對稱(chēng)群生成元at構造出來(lái)選取系數函數=ta(x+g),n=g是常數)則由方程組18)的第1個(gè)方程可得到系數函數φ=-tanx+g),它們構成方程組18舶的一組特解其對應的非古典勢對稱(chēng)群生成元為rx由式(22)可構造得到熱方程的如下顯式解ux式中h是常數選取系數函數s=co(x+g1),=t(g1是常數)則由方程組18)的第1個(gè)方程可得到系數函數φ=-υta(x+g1),它們構成方程細18舶的1組特解其對應的非古典勢對稱(chēng)群生成元為81 5x- tcot x+81 a(24)由(24)可構造得到熱方程的如下顯式解Id x t)=coxx+gix(25)式中h1是常數熱方程的非古典勢對稱(chēng)群與不變解現在考察系數函數τ≠0的情況當τ≠0時(shí)由方程組(16)可以得到下列特解s= 4ixt+ hp=-2ixy -( ix+6it+ m )u+aDU + acx與其對應的非古典勢對稱(chēng)群生成元為=(4in2+j)》,+(4ixt+k)+(-(ix2+2it+m)+a(xt)+(-2ixu-( ix+6it m )u +a)同樣,下列函數n,5=-2t+o,中=也是方程組(16)的一組特解,與其對應的非古典勢對稱(chēng)群生成元為dx +(u+ du u s很遺憾到目前為止未能利用非古典勢對稱(chēng)群生成戒(26和27構造得到熱方程的新顯式解選取系數函數x=x美其顯含n)=0并且令n=p(p是常數)則由方程組16)的第1個(gè)方程可以得到ψ=0,它們構成方程組16舶的1組特解其對應的非古典勢對稱(chēng)群生成元為V8=xw)at+ pt x ,u(28)由式(28)可構造得到熱方程的如下顯式解)t+ p式中q、r是常數接下來(lái)我們考察(1+1)維波方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元(30)寫(xiě)成守恒形式為x相應的一階微分方程組為(32)附加邊條件為+5u綜合式32廂33)可得到-(34)若采用文執7的方法將式34)代入非古典勢對稱(chēng)群生成元確定方程T:)+un+u(m+-中-x)-u(m-,-中+x)-中=0化簡(jiǎn)求解是非常復雜而困難的由式(34)可以直接得到+222秦茂昌梅鳳翔令(n+)(x+)=tAxl),綜合式30和(36)可得D(ψ)-D、y)=0(37)由于n,=u和n1=u1通過(guò)適當的選擇待定函數ψ,可以很簡(jiǎn)單的得到文獻7所求得的非古典勢對稱(chēng)群生成元及相應的不變解而且能夠得到更多的非古典勢對稱(chēng)群生成元且計算較為簡(jiǎn)單[參考文獻]1] Olver PJ. Applications of Lie Groups to Differential Equations[ M ] New York: Springer-Verlag[2] Ibragimov N H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics[ M ] New York springer-Verlag 987[3] Bluman G W, Kumei S. Symmetries and Differential Equations[ M ] New York: Springer-Verlag[4] Ovsiannikov L V Group Analysis of Differential equations[ M ] New York :Academic 1989[5] Bluman G W Cole J D. The general similarity solutions of the heat equation J ] Journal of Mathmatics and Mechanics 1969 185): 1025-1042[6] Bluman G W, Kumei S New classes of symmetries for partial differential equation[ J ] Journal ofMathematical Physics, 1988 24)806-811[7] Johnpiliai A G, Kara A H Nonclassical potential symmetry generators of differential equations[ JNonlinear Dymamics 2002 30( 2 ): 167-177[ 8] Gandaries M L Nonclassical potential symmetries of the Burgers equation A ]. In Shkil M Nikitin ABoyko V Eds Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics[ C ] Vol 1. Klev Institute of Mathematics of Nas of Ukraine 1997 130-137Nonclassical Potential Symmetries andInvariant Solutions of Heat EquationQIN Mao-chang2, MEI Feng-xiang, XU Xue-jun'(1. School of Science, Chongqing Technology and Business UniversityChina2. School of Science Beijing Institute of TechnologBeijing 100081, P. R. ChinaAbstract Some nonclassical potential symmetry generators and group-invariant of heat equation andwave equation were determined. It is shown that new explicit solutions of conserved equations can beconstructed by using the nonclassical potential symmetry generators which are derived from their adjoit system. These explicit solutions cannot be obtained by using the lie or Lie- Backlund symmetrygroup generators of differential equationsKey words nonclassical potential symmetry generators heat equation wave equation explicit solution