擋板法的應用

【學(xué)法指導】擋板法的應用胡錦彩(浙江省天臺縣育青中學(xué),浙江天臺317200)摘要:擋板法是解組合問(wèn)題的一種重要方法,本文通過(guò)具體實(shí)例闡逑了擋板法的構建過(guò)程,體現了數學(xué)的建模思想。關(guān)鍵詞:擋板法;構建;組合模型;轉化;推廣;快捷擋板法是解決組合問(wèn)題的有效方法,它的關(guān)鍵是+x=MM≥n,mEZ)的正整數解的不同組數為Cm把實(shí)際問(wèn)題轉化為組合模型。下面我們通過(guò)具體的例若將正整數解更改為非負整數解,像例題3就不能子來(lái)揭示這種轉化的途徑和方法。直接用上述的方法,為什么呢?因為xy,z的值可以為0例1:要從7個(gè)學(xué)校中選出10人參加數學(xué)競賽,每那么我們能不能轉化為例2的方法來(lái)解呢?校至少有1人,這10個(gè)名額有多少種不同的分配方法?解析:這類(lèi)問(wèn)題一般地可用分類(lèi)討論的方法求解,例3:求不定方程x+y+z=6的非負整數解的不同組數?即分成三類(lèi):第一類(lèi),有一所學(xué)校4人,其他學(xué)校各1人,不妨將x,y,看成3個(gè)盒子,先在3個(gè)盒子中先各放共有C,種不同的方法;第二類(lèi),有一所學(xué)校3人,有一上1個(gè)大小形狀都相同的小球,再把6看成6個(gè)大小形狀所學(xué)校2人,其他學(xué)校各1人共有A種不同的方法;第都相同的小球,然后把9個(gè)大小形狀都相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中,每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球,這樣不定三類(lèi)有三所學(xué)校各2人,其他學(xué)校各1人,共有C種不方程x+y+z=6的非負整數解的不同組數轉化為求不定方同的方法;根據加法原理可得C+A+C=84(種)。這種程x+y+9的正整數解組數。因此例3的解為C=28組。解法雖然思路清晰,方法可行,但總感覺(jué)有點(diǎn)麻煩,如事實(shí)上,若設x=x+1,y'=y+1,z=z+1則原方程果我們能從整體上考慮,就可將問(wèn)題轉化為將10個(gè)形x+y+2=6可化為x+y+x=9,所求的原不定方程非負整數狀大小都相同的小球放到7個(gè)不同盒子中,每個(gè)盒子解的組數與新方程x+y+x=9正整數解的組數一一對至少有一個(gè)球,有多少種放法?事實(shí)上,把10個(gè)球排成應。類(lèi)比例2的解法,可知新方程x+y+x=9的正整數解行,然后用6塊擋板插在9個(gè)間隔中,將小球分成7份共有C=28組,故原方程非負整數解有28組的方法數共有C。=84(種),我們把這種直觀(guān)的方法稱(chēng)為例4:求(a+b+c+d)展開(kāi)式的項數。擋板法。這種解法既避開(kāi)了復雜的分類(lèi)討論,又形象生例4的解法通常把(a+b+c+d)改寫(xiě)成[a+b)+動(dòng)簡(jiǎn)潔明了,學(xué)生掌握起來(lái)比較方便例2:求不定方程x+y+z=4的正整數解的不同組數。(c+d)]),然后按二項式展開(kāi),即(a+b+e+d)"=C解析:例2這個(gè)問(wèn)題的最原始的解法手段是列舉(a+b)+Craa+b)(c+d)Cn(a+b)X(c+d)2+…+CmOc+d)0x=1x=1|x=2這樣展開(kāi)式的所有的項數為11+10×2+9×3+8×4+7x法。它有如下的三組解即y=1,y=2,ly=l但這種解’56×6+5×7+4x8+3×92x10+1126(項),但是這種解法也沒(méi)有推廣的價(jià)值,如求(a+b+c+d)的展開(kāi)式法雖然直觀(guān)明了,但沒(méi)有推廣價(jià)值,如:求不定方程的項數,若用上述方法則力不從心。但我們可以把這X+y+=10正整數解的不同組數就相當困難。那我們個(gè)問(wèn)題轉化為例的方法來(lái)解決。因為(a+b+c+d)Co如何去構造恰當的數學(xué)模型來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題呢?C1o-C1--a'b'c'd(x,y,z∈A,A=0,1,2,…,10),所我們設想將4個(gè)1排成一行,即f,1,1,1,它們之間以(a+b+e+d)展開(kāi)式的項數為相當于不定方程有3個(gè)空擋,相當于用2塊擋板把4個(gè)大小形狀都相同的小球分成3個(gè)部分每個(gè)部分的個(gè)數依次記為x,y,0這x+y++1的非負整數解的不同組數,所以共有C=286樣上述的每一種擋板的插法與方程x+y+z=4的一組正(項),這樣就起到事半功倍的效果。我們還可以得到更整數解一一對應,于是原問(wèn)題的答案等價(jià)于從3個(gè)不同一般性的結論:(x+x+…x)的展開(kāi)式的項數為C的元素中取出2個(gè)元素的組合數,為組合模型,所以共中國煤化工們可以看出很多的有C種不同的方法,故原不定方程有C=3組不同的正整至不可辨”等問(wèn)題,通數解。同理,我們可以很方便快捷地得到不定方程過(guò)構CNMH的解決變得簡(jiǎn)便快x+y+2=100的正整數解的不同組數為C=4851(組)。當捷,這對于發(fā)展學(xué)生的形象思維和建模能力有著(zhù)不可估量的重要作用。然我們還可以得到更一般的結論:不定方程x+x160