熱方程的非古典勢對稱(chēng)群與不變解

應用數學(xué)和力學(xué)第27卷第2期2006年2月)應用數學(xué)和力學(xué)編委會(huì )編Applied Mathematics and Mechanics文章編號:1000-0887200602-0217-06熱方程的非古典勢對稱(chēng)群與不變解秦茂昌2,梅鳳翔,許學(xué)軍(1.重慶工商大學(xué)理學(xué)院重慶4000672.北京理工大學(xué)理學(xué)院北京100081)(胡更開(kāi)推薦)摘要:主要研究了熱方程與波方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元及相應的群不變解研究表明對于守恒形式的偏微分方程,可通過(guò)其伴隨系統求得的非古典勢對稱(chēng)群生成元來(lái)構造其顯式解這些顯式解不能由方程本身的Lie對稱(chēng)群生成元或Lie- Backlund對稱(chēng)群生成元構造得到關(guān)鍵詞:非古典勢對稱(chēng)群生成元;熱方程;波方程;顯式解中圖分類(lèi)號:0152.5175.2文獻標識碼:A引言在微分方程特別是對偏微分方程而言舶的約化及顯式解的構造的各種方法中,對稱(chēng)群方法是一種非常重要且應用廣泛的方法文獻1~4論述的經(jīng)典Iie對稱(chēng)群方法,可用來(lái)構造偏微分方程的顯式解并對方程本身進(jìn)行約化偏微分方程旳經(jīng)典對稱(chēng)群通常是指定義在自變量及函數空間上將方程的解變?yōu)槠渌獾臒o(wú)限小連續變換同時(shí)將利用對稱(chēng)群方法構造得到的解稱(chēng)為方程的群不變解Bluman和Cole在文獻56中用一種新方法得到了守恒型偏微分方程的一種新的非局部對稱(chēng)這種對稱(chēng)既不是給定方程的Lie點(diǎn)對稱(chēng)也不是其Lie- Backlund對稱(chēng)這種對稱(chēng)被稱(chēng)為偏微分方程的勢對稱(chēng)〔古典勢對稱(chēng))一般而言由于偏微分方程的勢對稱(chēng)確定方程比它的Lie對稱(chēng)群確定方程要少所以要找岀其所有的對稱(chēng)是非常困難的但同時(shí)也產(chǎn)生了找到新的對稱(chēng)及群不變解的可能性正因為如此這種對稱(chēng)引起了廣大研究者的興趣最近,古典勢對稱(chēng)被進(jìn)一步發(fā)展推廣到了非古典勢對稱(chēng)文獻7]得到了波方程的幾個(gè)非古典勢對稱(chēng)群生成元及其群不變解文獻8琍利用 Burgers方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元構造得到了新的顯式解關(guān)于守恒型偏微分方程的非古典勢對稱(chēng)群生成元的尋找及其相應群不變解的構造還有大量的工作要做在本文的第1節我們將給出一種求偏微分方程非古典勢對稱(chēng)群生成元的方法萬(wàn)第2節則以熱方程及波方程為例說(shuō)明方程非古典勢對稱(chēng)群生成元的求法及其群不變解的構造中國煤化工CNMHG收稿日期:2004-03-19;修訂日期:2005-10-30基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(10272021)作者簡(jiǎn)介:秦茂昌(1971—)男云南永勝人博土(聯(lián)系人.Tel:+86-23-609941796;7110037@sina.com.cn217秦茂昌梅鳳翔許學(xué)軍尋找對稱(chēng)的方法考察階數m≥2的如下守恒形式的偏微分方程D(f(y,a,u(1),l(2)r…,(m-1))=0,式中自變量y=(x1x2灬xn)為函數,(j=12灬m-1)表示第j次偏導數的全體例如u(1)={u1,2…,un},a(2)={u1,a12…,m}灬(具體以x1=t和x2=x為自變量來(lái)說(shuō),(1)={u4,x3,(2)={un,ua,lx3,(3)={um, btex illex,umx})同時(shí)定義算子Dl12因為方程組1湜是守恒形式所以存在n(n-1)2個(gè)函數y構成一個(gè)反對稱(chēng)張量(i