位錯動(dòng)力學(xué)與系統的全局分叉

第53卷第6期2004年6月物理學(xué)報Vol, 53, No 6, June, 2004100032902004/53(06)194006ACTA PHYSICA SINICA⊙2004 Chin. Phvs.So位錯動(dòng)力學(xué)與系統的全局分叉羅詩(shī)裕)邵明珠")韋洛霞)劉曾榮)(東莞理工學(xué)院東莞523106)2(上海大學(xué)數學(xué)系,上海200436)(2003年6月17日收到;2003年7月21日收到修改稿)在位錯動(dòng)力學(xué)的 Seeger方程基礎上,引入周期場(chǎng)作用,把位錯運動(dòng)方程化為具有硬彈簧特性的 Duffing方程,并利用多尺度法分析了系統的動(dòng)力學(xué)特征,利用 Melnikov方法討論了系統的全局分叉和系統進(jìn)人混沌狀態(tài)的可能途徑結果表明,當b/a一定,Q不斷減小時(shí),系統逐漸向臨界狀態(tài)接近,然后經(jīng)過(guò)無(wú)限次級聯(lián)分叉進(jìn)入混沌狀態(tài)關(guān)鍵詞:位錯,分叉,超晶格,非線(xiàn)性PACC:6180M,0547,7550R由于超晶格的特殊幾何結構,引起了人們對它的興1.引言趣比如選擇GaP作基片,沿[00方向生長(cháng)等厚的GaP和GaAs,P1,薄層,由于在生長(cháng)方向上晶格失配隨著(zhù)人類(lèi)認識能力的不斷提高,人們已經(jīng)完成沿生長(cháng)方向的各層將交替產(chǎn)生伸長(cháng)和壓縮形變,導或正在完成從線(xiàn)性認識到非線(xiàn)性認識的超越凝聚致(110平面溝道偏折,使直溝道變成了鋸齒狀的態(tài)物理中的非線(xiàn)性問(wèn)題就是一類(lèi)十分普遍而重要的“折溝道”這種溝道的特點(diǎn)是在界面處溝道平面連問(wèn)題,比如熱膨脹、熱導率、晶格動(dòng)力學(xué)、非線(xiàn)性光學(xué)續,一階導數不存在.當然,這只是一種理想情況.實(shí)和半導體光磁電效應等都表現出了明顯的非線(xiàn)性特際上,超晶格的溝道偏折是由于界面處晶格失配產(chǎn)征,非線(xiàn)性系統的一個(gè)重要特征就是它的振幅和生應力,應力集中產(chǎn)生位錯,位錯運動(dòng)、釘扎導致晶位都是時(shí)間相關(guān)的函數一般情況下,非線(xiàn)性方程格形變正是由于位錯存在,超晶格在界面處的溝道不存在嚴格解,而近似解大都利用攝動(dòng)法攝動(dòng)法有不再是折溝道,而是彎溝道其特點(diǎn)是界面處溝道平效的基本條件是小參數而對于大參數,系統則表現面連續,一階導數存在出了另外一系列新的特征其中一個(gè)就是在參數變本文在 Seeger方程基礎上,引入阻尼項和周期化的某個(gè)范圍內,系統將出現級聯(lián)分叉,而后進(jìn)入混場(chǎng)(比如聲場(chǎng))作用,對超晶格界面的位錯運動(dòng)作沌狀態(tài),表現出了特有的內在隨機性這種隨機行為非線(xiàn)性描述事實(shí)上,引入阻尼項和受迫項后,位錯的特點(diǎn)是系統存在一個(gè)奇怪吸引子.弱釘扎的電荷運動(dòng)方程是一個(gè)具有硬彈簧特性的Dfng方程,利密度波系統和在外場(chǎng)作用下的位錯動(dòng)力學(xué)系統都表用攝動(dòng)法討論了系統的動(dòng)力學(xué)特征,并利用現出了這種混沌行為Melnikov方法分析了系統的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為,導隨著(zhù)加速器技術(shù)的發(fā)展,人們對帶電粒子與物出了系統走向混沌的臨界值,分析了系統的全局分質(zhì)相互作用進(jìn)行了廣泛而深入的研究.帶電粒子的叉和系統進(jìn)入混沌的可能途徑在δ/a-圖上,討溝道效應和溝道輻射便是人們發(fā)現的重要現象之論了系統的混沌區和非混沌區.結果表明,當/a一.由此發(fā)展起來(lái)的溝道技術(shù)在固體物理和原子核定,不斷減小時(shí),系統逐漸向臨界狀態(tài)接近,然物理中得到了廣泛應用,而且還成功地用它來(lái)研究后經(jīng)過(guò)無(wú)限次級聯(lián)分叉進(jìn)入混沌狀態(tài);或者,當無(wú)量了形(應)變超晶格.所謂超晶格就是將兩種晶格常綱的外場(chǎng)頻率Ω固定,無(wú)量綱的系統參數δ/α逐漸數不同(或相近)的材料交替生長(cháng),形成的多層薄膜增加時(shí),系統也將經(jīng)過(guò)無(wú)限次奇階次諧分叉進(jìn)入混結構.由于超晶格的材料、組分和層厚等均可以人為沌(甚至在原子和分子尺度上)控制,可望得到均勻半中國煤化工晶格的溝道偏折由導體材料所不具有的光電特征值得注意的是,正是CNMH(道不再是直溝道,6期羅詩(shī)裕等:位錯動(dòng)力學(xué)與系統的全局分叉194l而是折溝道我們曾經(jīng)用位錯靜力學(xué)方法,討論了溝為如下形式的常微分方程道偏折的機理本文試圖從位錯動(dòng)力學(xué)出發(fā),進(jìn)一步Eng§2ran2πd +204討論超晶格界面附近位錯的運動(dòng)行為.也許正是由a3 sIn于位錯的釘扎和堆積導致了溝道彎曲,但是,也可能22.與空間無(wú)關(guān)的情形由于位錯運動(dòng)的混沌行為導致界面附近應力集中使溝道畸形,甚至分層或“斷裂”這就為超晶格的制備假設在滑移方向位錯運動(dòng)是均勻的,則系統的提出了更高要求,同時(shí)也為進(jìn)一步改善材料性能提狀態(tài)與x無(wú)關(guān)于是方程(4)化為供可能途徑or2+F()=b(1)2.非線(xiàn)性運動(dòng)方程其中F()由(3)式給出.方程(6)是無(wú)阻尼的位錯動(dòng)力學(xué)方程.引人阻尼項,方程(6)化為假定考察的位錯是一段直的刃型位錯,并假定位錯線(xiàn)與x軸平行(即平行于超晶格相鄰兩個(gè)平面m ar+r di f(e)= bo(t),的交線(xiàn)),且一端被雜質(zhì)釘扎通常,位錯沿x方向其中γ是單位長(cháng)度位錯上的衰減系數方程(7)就的位移是位置x和時(shí)間t的函數,1956年,Seer是本文關(guān)注的位錯動(dòng)力學(xué)方程在研究金屬內耗時(shí)首次描述了這樣的系統,并導將F()按 Talore級數展開(kāi),并取前兩項,可得出(x,t)滿(mǎn)足偏微分方程a:92-()+m9,(1)其中F()=A-B,E()a2=8其中b是 Burger矢量長(cháng)度,m是單位長(cháng)度上位錯的有效質(zhì)量(m∝pb2,p是位錯密度),a(t)是位錯在A(yíng)-(2)1(1+4)單位長(cháng)度上受到的力E()是單位長(cháng)度位錯所對應a1(1+16a3)的勢能,且是周期為d的周期函數.將E()按Fourier展開(kāi),并截斷為如下形式假定時(shí)間相關(guān)的周期場(chǎng)均勻地作用在所考察的E()=E0-a2cos5,(2)位錯上(比如將它放置在周期變化的聲場(chǎng)中),并意到(8)式,方程(7)可進(jìn)一步化為其中d是晶格常數,a和a2是小量(同E。相比)d由(2)式可得m dr2+ y5+AE-BE= ao bcosat,(10)其中a是外場(chǎng)振F其中a3=a2/a(11)注意到a1和a2是小量,于是,方程(1)左端的ψ=/o,0=(A/2b)2,E(日)可用E。代替;將(3)式代入方程(1),可得r=a0t,6=60ob/8V(12)83:2r則方程(10)化為無(wú)量綱形式dsd 2十(13)分兩種情形討論系統(10)是一個(gè)具有硬彈簧特性的Ding方程這21.與時(shí)間無(wú)關(guān)的情形是一個(gè)典型的動(dòng)力學(xué)系統,文獻[2,3]用攝動(dòng)法對它假設系統處于穩定狀態(tài)(比如系統經(jīng)過(guò)比較長(cháng)進(jìn)行過(guò)研究.下面首先討論在弱非線(xiàn)性情況下系統的時(shí)間后)則系統狀態(tài)與時(shí)間無(wú)關(guān),(x,1)退化為的動(dòng)力下后再討論大參數情況下系統的動(dòng)a力學(xué)中國煤化工論系統的全局分(x),22=0,0(1)為常數a,則偏微分方程(4)化叉和CNMHG1942物理學(xué)報卷如果我們關(guān)心的不是方程的解,而是它的一般3.系統的主共振和次共振動(dòng)力學(xué)特征,則從上式就可以直接看出位錯運動(dòng)時(shí)將穿過(guò)哪些共振線(xiàn)事實(shí)上,從方程(21)可以看出假設方程(10)中阻尼項和非線(xiàn)性項是一個(gè)小當Q≈0,1/3,3時(shí),系統出現共振因為這三條共振量,則形式上可將它改寫(xiě)為線(xiàn)是在一次近似中出現的,這類(lèi)共振又稱(chēng)為次共振.d'ys+o+ 2ep -e'=cosr,(14)在二階或二階以上的近似中將出現更多的共振線(xiàn)從上式還可以看出,Ω=1的這條共振線(xiàn)除了線(xiàn)性其中2H=a,而∈是小參數,也是形式參數當它是激勵外,非線(xiàn)性也可以激勵,這就是說(shuō),當位錯運動(dòng)形式參數時(shí),只需在結果中令它為1即可當它是小時(shí),將穿越a=0,1/3,1,3四條共振線(xiàn)其中a=1參數時(shí),在方程中它僅代表該項是O()量級我們的這條共振線(xiàn)是必須避免的,而=0,3,1/3則是應利用多尺度法討論系統(4)的動(dòng)力學(xué)行為引人快當盡量避免的適當選擇工作點(diǎn),這些共振線(xiàn)是可以尺度T=τ和慢尺度T1=εr,并注意到避免的;即使不能避免,只要保證位錯運動(dòng)能夠比較dr a do +eD,+快地穿過(guò)共振線(xiàn)(不包括』=1這條共振線(xiàn)),則材料仍然是安全的=(Do+ED1+…)2(15)=D+2eDD1+…4.系統的級聯(lián)分叉與混沌臨界值其中微分算子Dn=,于是,方程(14)可以表分兩種情況討論示為4.1.自治系統Dψ+2eDD1ψ+2epDψ+…+ψ-cycostO(16)根據定義,方程(13)的自治系統由問(wèn)題歸結為尋找如下形式的近似解y"+φ-y3=0ψ=ψ(70,T1)+ey(T,71)+…(17)給出,或者表示為將(17)式代入方程(16),并令ε的同次冪系數相等可得D'o +4其中g(shù)'=dg/dr.系統(23)有初積分Do,+r=-2Do D, Do -2RuDo wo -oH(49)=92+“-2-h.(2)(18)當h=14時(shí),系統存在一對異宿軌道( heteroclin(18)式中第一個(gè)方程的通解可表示為orbit);當h>14時(shí),存在一簇開(kāi)軌道;當03(2(52)R()(49)該系統處于混沌狀態(tài).當6/a一定,Q不斷減小時(shí),可見(jiàn),對于任一固定的a,當m充分大時(shí),恒有不系統逐漸向臨界狀態(tài)接近然后經(jīng)過(guò)無(wú)限次級聯(lián)分等式叉進(jìn)入混沌狀態(tài)或者,對于』一定,參數8/a不斷R(n)